日志

凔海笔记之FPGA（六）：二进制的加法番外篇

已有 896 次阅读2016-3-25 21:13

貌似在会说话的时候，妈妈就会问，这是几？1+1等于几？如果伸出两个手指头或是说个2，那幸福日子就来了，若是蹦出三个手指头，呵呵……。

咱打小学的就是满十进一的运算，也就是十进制，而对于数字系统来说，它只有高低电平，所以只有0和1。然而就是这些0和1，若我们按一定的顺序排列，就可以表示一些自己想要的东西了，这和十进制数一样，我们可以说119是一百一十九，也可以认为是火警电话，就看在什么语境下了。对于10进制的数学运算，例如146+179=325，计算方式就是由低位到高位进行满十进一。同理可得，二进制的数学运算也是如此。
例如：11+10=101（3+2=5），1001+1100=10101(9+12=21），由右向左，满二进一。我们的计算机就是进行二进制计算的，Why？因为在数字系统中，只有高电平和低电平，如果有“中电平”这么个东西的话可能就是三进制了。那么，用逻辑器件是如何实现的呢？
先看一位的，列个表看一下一位二进制A+B？

看这表可以发现，0+0=0,0+1=1,1+0=1，但当A、B同时为1时，是个麻烦事，因为1+1=2有个进位。所以，以防AB均为1时出现尴尬，需要俩个输出来表示。这样说来，就需要一位表示二进制的第一位，一位表示二进制的第二位，这个第二位是因为进位产生的，所以这个位被称之为“进位”，而第一位被叫做“和”。总得来说，当A+B时，有俩个位数来记录它们的输出，分别为和和进位。
现在将上表分为和和进位俩表如下：

很显然，对于A+B的“和”，就是当AB不一样的时候为1，对于“进位”，就是当AB均为1的时候为1。所以，A+B的运算可以由异或和与门组成，将异或门输出作为“和”，将与门输出作为 “进位”如下图A：

这样A+B的任意情况就都满足了，这个东西有个学名，叫做半加器，如图B， S（sum）是“和”，C（carry-over）是“进位”。为什么叫半加器呢？往下看。
如果A=11，B=11，可以用我们聪明的大脑计算出A+B=110，如何把这个计算用硬件实现呢？用俩个半加器可以吗？是不是感觉无从下手，俩个如何连在一块？对于第一位1+1会产生进位，那这个进位参与第二位的相加，三个数又该如何输入？所以说，半加器是无法实现对进位的处理，更无法进行多位的计算。

估计这就是为什么叫半加器了，它解决不了进位问题啊。所以说，对于多位二进制相加，这个器件需要实现3位数的相加。其中一位是由前一位决定的。怎么实现？所以，现在开始想如何实现三个二进制相加。也就是说，我们要构造一个这样的东西：

输入是三个数，输出是这三个数相加的结果0（00）到3（11）。而我们要实现的功能如下表：

学过数电的一定知道，通过此表就可以得出全加器的逻辑图，因为我们有万能的韦恩图。但是，太麻烦了，太死板了，不想用，所以咱走走歪门邪道吧，没准还行。
由表可知，对于高位来说，有两个及以上个1则为1，对于低位，有奇数个1则为1。看到这个规律，我是有个想法，就是判断是几个1，来决定高位和低位的输出是什么。三位一起判断，咱不会，可以俩位俩位的判断嘛。这时你有没有想到半加器？为什么我想到他了呢？