同时寻找最大数和最小数的最优算法

我们知道，在一个容量为n的数据集合中寻找一个最大数，不管用什么样的比较算法，至少要比较n-1次，就算是用竞标赛排序也得比较n-1次，否则你找到的就不能保证是最大的数。那么，在一个容量为n的数据集合中同时寻找最大数和最小数的最小比较次数是多少呢？
     从一个容量为n的数据集合中同时找到最大数和最小数的最优方法是：首先让所有的元素参与两两比较，这样总共比较了n/2次，最大数肯定在胜者组中，最小数 肯定在败者组中；然后从容量为n/2的胜者组中找到最大的数，最少要比较n/2 - 1次；同理，从容量为n/2的败者组中找到最小的数，最少要比较n/2 - 1次。所以总共需要比较(3n/2) - 2 次。以上假设n为偶数。奇数同理。

这是同时寻找最大数和最小数的最优算法。

 

    那么，我们要从一个容量为n的数据集（假设该数据集是一个集合，即没有相同的元素）中找到第二大元素需要多少次比较呢？
    一种习惯的方法是：先找出最大的元素，这需要比较n-1次；然后从剩下的n-1个元素中找到最大的，这个元素就是我们要找的第二大元素，这需要比较n-2次。做一总共比较2n-3次。
但是，
    还有一个更优的方法：
（1） 我们考虑淘汰赛的比较法，淘汰赛结束后，找出冠军我们需要n-1次比较；如下图所示，找到12需要比较7次。
（2） 此时我们要考虑到，亚军应该存在于败给冠军的这些选手中（否则，每个元素都至少有两个元素比它大），由于与冠军比过的元素个数为┌log2n┐，从这些元素中找到最大值需要比较┌log2n┐ - 1次；如下图所示，亚军应该在10,11,4这三个元素中。否则，如果亚军是5，那么冠军12比它大，与它比较过的10也比它大，至少两个元素大于5，所以5肯定不是亚军的候选者。

 

（3）从而找出亚军要比较n-1+┌log2n┐-1 = n-2+┌log2n┐次比较。这个算法是寻找亚军的最优算法。